录十六

前面绘制三棱锥时，为了将模型移动到视景体范围内，我们修改了模型的顶点坐标。如果要在场景不同的位置渲染多个模型，直接修改模坐标显然是不合理的。为了解决这个问题，就需要引入模型变换的概念。

一、世界坐标系和模型坐标系

世界坐标系是一种特殊的坐标系，它建立了描述其它坐标系所需的参考框架。也就说要描述其它坐标系，必须依赖世界坐标系，而无法用其它坐标系来描述世界坐标系，因此它也叫全局坐标系。

模型坐标系是和特定模型相关联的坐标系。在定义一个三维模型，或者通过其它3D软件建立三维模型时，一般都需要以模型自身的中心建立坐标系的，然后在这个坐标系下构建三维模型。以模型自身建立的坐标系叫做模型坐标系，模型在模型坐标系下的坐标，叫模型坐标（也叫局部坐标）。

我们可以将模型以任意姿态，任意大小，放到世界坐标系中的任何位置，如下图所示：

将模型放入后世界坐标系，为了使用世界坐标系来描述模型的顶点坐标，就需要将模型的顶点坐标从模型坐标系下变换到世界坐标系下，这个变换过程叫做模型变换。

二、平移变换

平移变换，就是使一个物体沿着一个任意长度，任意方向的向量平移。例如让一个物体沿着向量V平移，如下图所示：

对物体进行平移，需要将物体的每一个顶点P(x，y，z)，沿着向量V（v_x，v_y，v_z）平移到新的位置Q(x+v_x，y+v_y，z+v_z)。写成矩阵的运算如下：

那么给定平移向量V（v_x，v_y，v_z），则对应的平移矩阵为：

在上面的平移矩阵推导过程中，我们采用了矩阵右乘的方式进行顶点变换。也可以将顶点写成列向量的形式，采用矩阵左乘的方式进行顶点变换，如下所示：

在矩阵和向量的运算过程中，矩阵置于右侧，还是置于左侧，仅仅只是个人习惯而已。对于计算机图形学而言，此类规则无所谓对与错，我们只需要忠于自己的选择，并对最终的结果负责就可以了。但需要注意的是，在这两种不同的规则下，得到的变换矩阵是不相同的，在数学的意义上它们互为转置。

二、缩放变换

缩放变换的目的是为了放大或者缩小物体的尺寸。如果想用同一个模型来渲染出很多大小不同的物体，或者想按照一定的比例，让模型和现实世界中的尺寸一致。这种情况下，就需要对模型进行缩放变换。

要对模型进行缩放，只需要将模型的每一个顶点P（x，y，z）的各个分量分别乘以x轴，y轴，z轴的缩放因子s_x，s_y，s_z。如果每个轴的缩放因子相同，就是均匀缩放，否则就是非均匀缩放，如下图所示：

同样的方法，也将缩放变换写成矩阵运算的形式，如下：

那么给定缩放因子s_x，s_y，s_z，则对应的缩放矩阵为：

三、组合变换

组合变换，顾名思义就是将上面所介绍的平移变换，缩放变换，包括后续的旋转变换，镜像变换等各种变换相互组合之后产生的变换。

（1）公式推导

假设点P经过多次的矩阵变换，得到新点Q，用数学公式的形式表示：

如果按照上面的公式对模型进行变换，那么模型的每一个顶点都需要和n个矩阵依次相乘，这种做法的效率是比较低的。根据线性代数中，矩阵乘法的相关知识，可以将所有矩阵组合成一个矩阵。这样模型的每一个顶点和组合后的矩阵做一次乘法就可以了。如下所示：

在计算组合矩阵M时，所有变换矩阵从左到右依次相乘。也就说对模型的顶点坐标进行变换时，最初相乘的矩阵必须在最左边（这里最初的矩阵为M₀）

这里再次说明，如果采用列向量，矩阵左乘的变换规则，那么组合后的M矩阵应该是：

（2）组合变换效果

为了深入理解变换顺序对变换效果的影响，我们可以设平移矩阵为M_t，缩放矩阵为M_s，并且暂时从三维空间退到二维空间。

第一种变换，先将模型右移1个单位，然后再放大1倍，对应的组合矩阵为：M=M_t M_s，变换效果如下：

第二种变换，先将模型放大1倍，然后再右移1个单位，对应的组合矩阵为：M=M_s M_t ，变换效果如下：

从上面的变换过程可以看到执行顺序不同，应用相同的变换矩阵，最终的效果是不一样的。导致结果不同的根本原因：两次缩放的中心点不一样。第二次缩放的中心点是模型的中心，而第一次缩放的中心点是模型的左边界中点，此时模型的顶点已经变换到了世界坐标系下。从数学角度上来解释，就是因为矩阵的乘法不满足交换律，即A B≠B A。

注意：这里的组合矩阵都是在行向量，矩阵右乘的变换规则下得到的。以后如果没有特殊说明，我们都采用这种规则，包括后续的代码实现。

四、算法实现

首先定义一个4x4的矩阵类，如下

template<typename N>
class Matrix4x4
{
public:
    typedef N ValueType;

public:
    //默认初始化一个单位矩阵
    Matrix4x4();
    //构造函数
    Matrix4x4(N f11, N f12, N f13, N f14,
              N f21, N f22, N f23, N f24,
              N f31, N f32, N f33, N f34,
              N f41, N f42, N f43, N f44 );
    //拷贝构造函数
    Matrix4x4(const Matrix4x4<N>& other);

public:
    union
    {
        struct
        {
            N m11, m12, m13, m14;
            N m21, m22, m23, m24;
            N m31, m32, m33, m34;
            N m41, m42, m43, m44;
        };
        N m[4][4];
        N mat[16];
    };
};

//生成平移矩阵
template <typename N>
Matrix4x4<N> Matrix4x4<N>::MakeTrans(N tx, N ty, N tz)
{
    Matrix4x4<N>    trans;
    trans.m41 = tx;
    trans.m42 = ty;
    trans.m43 = tz;     
    return trans;
}

//生成缩放矩阵
template <typename N>
Matrix4x4<N> Matrix4x4<N>::MakeScale(N sx, N sy, N sz)
{
    Matrix4x4<N>    trans;
    trans.m11 = sx;
    trans.m22 = sy;
    trans.m33 = sz;     
    return trans;
}

源码下载：TranslateScale